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杆的振动有两种基本模态，分别是轴向振动与侧向振动。首先考虑轴向振动，如附图长度为dx，截面积为A，密度ρ之杆元素。由力平衡原理可推得：?2u/?t2＝(1/C2)(?2u/?x2)因此，振动位移满足波动方程式，其中：C＝√E/ρ是沿轴向传送之纵波波速，而E是杨氏模数。因此，振动位移的通解为：u(x, t)＝cos(ωt＋ф){Acoskx＋Bsinkx}其中A，B是未定系数；ф是相差；k＝ω/C是波数。假设杆长为L，两端为固定端，则u(x＝0, t)＝0将使得A＝0，而u(x＝L, t)＝0使得sinkL＝0，或kn=nπ/L n=1,2,3,…因此，存在的振动模态角频率必须满足：ωn＝Cnπ/L n＝1,2,3, …而位移解为各模态之线性组合 Bn与фn将由初始条件求得。事实上，不同的边界条件将导致不同的振动频率，必须依实际问题求解。将杆的轴向振动应用在压电换能器上，可由压电晶体的切割方式控制其轴向振动频率，以激发固定频率之超音波。接着考虑杆的侧向振动，长度为dx，截面积为A，密度ρ为之杆元素，由力矩在x处平衡得到：V＝dM/dx由力平衡知：dV/dx＝ρA(?2y/?t2)由曲率关系得到：M＝－EI(?2y/?x2)其中，E是杨氏模数；I是面积惯性矩。综合上式可求得侧向位移解y(x, t)满足：?2y/?t2＝－(EI/ρA)(?4y/?x4)假设y(x,t)＝W(x)cos(ωt＋ф)，则W(x)将满足：d4W/dx4＝(ω2ρA/EI)W＝γ4W则W(x)＝Acoshγx＋Bsinhγx＋Ccosγx＋Dsinγx。由边界条件可求得γ必须满足的条件，进而得到侧向振动之振动频率。假设杆件在x＝0为固定端，在x＝L为自由端，则γ必须满足：cot γL/2＝±tanh(γL/2)满足边界条件的γ可由cot(γ L/2)曲线与tanh(γ L/2)曲线的交点求得，依序为γ1＜γ2＜γ3…，同时得到相对应之振动频率。 杆的侧向振动可应用在音叉的设计上，以产生固定音频的声波。